Cinemática de cuerpos rígidos en 3D
Todo cuerpo en movimiento describe una trayectoria. La parte de la física que se encarga del estudio del movimiento sin estudiar sus causas es la cinemática. La parte de la física que se encarga del estudio de las causas del movimiento es la dinámica.
Se definió anteriormente al solido rígido como un sistema de masas puntuales, sometido a las ligaduras holonomas y que la distancia entre los pares de puntos que forman al solido permanecen inalteradas durante el movimiento. Aunque sea una idealización de la realidad, el concepto es muy usual y la mecánica del solido rígido merece atención.
ROTACIÓN:
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un punto fijo, la distancia r desde el punto hasta una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. Como el movimiento a lo largo de esta trayectoria ocurre a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, quizás sea acertado familiarizarse primero con algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales.
La rotación de un cuerpo rígido en donde R (matriz de transformación) se define a continuación:
r´= Rr
Se observa las soluciones son diferentes. Nótese también que el resultado no es una rotación alrededor un eje de coordenadas. Observando las matrices representan una rotación, Como se menciono toda matriz de rotación cumple la relación:
Para encontrar la representación matricial de una rotación alrededor de un vector arbitrario, se puede usar la conjugación. Por ejemplo sea ŵ un vector unitario en el plano xz generando un ángulo θ con el eje z. Una rotación de Ф radianes alrededor de este vector puede encontrarse rotando ŵ de manera coincida con el eje z, luego rotar Ф radianes alrededor del eje z y por ultimo rotando el sistema a su posición inicial definida por w
En 3D resulta que se necesitan tres parámetros. Estas imperfectas parametrizaciones aun así pueden ser útiles. Por ejemplo se puede pensar que una rotación general en 3D es el producto de tres rotaciones alrededor del eje de coordenadas
Aparte del hecho esta matriz es muy larga, encontramos el problema que cuando al parámetro Фy = π/2 la matriz se convierte en
Para la matriz superior encontramos que se encuentra el mismo resultado siempre que θx = θz + c donde c es una constante real.
-Derivadas de un vector de traslación y rotación.
Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:
A=Axi+ Ayj+ Azk
En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:
(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk
-Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación.
La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.
Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.
TEOREMA DE EULER:
Este teorema establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una sola rotación alrededor de un eje que pasa a través del punto. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden cambiar por parejas, y cada pareja reduce finalmente hasta combinarse en una rotación.
ROTACIONES FINITAS:
Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por tanto no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.
ROTACIONES INFINITESIMALES:
Cuando se definan los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento espacial, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Dichas rotaciones pueden clasificarse como vectores, ya que pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.
VELOCIDAD ANGULAR:
Si el cuerpo se sujeta a una rotación angular d0 alrededor de un punto fijo, la velocidad angular instantánea del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo. La recta que especifica la dirección de w que es colineal con d0 se denomina el eje instantáneo de rotación.
ACELERACIÓN ANGULAR:
La aceleración angular del cuerpo se determina a partir de la derivada con respecto al tiempo de la velocidad angular.
DERIVADAS DE UN VECTOR DE TRASLACIÓN Y ROTACIÓN:
Consideremos que los ejes x, y, z del marco de referencia móvil tienen una velocidad angular Ώ que se mide con respecto a los ejes fijos X, Y, Z. En la discusión siguiente, será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto:
A=Axi+ Ayj+ Azk
En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector.
Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto:
(A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk
Análisis del movimiento relativo usando ejes de traslación y rotación:
La forma más general de analizar el movimiento espacial de un cuerpo rígido requiere el uso de un sistema de ejes x, y, z que a la vez que se trasladan giran en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z.
Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.
Cinética de cuerpos Rígidos en 3 dimensiones
MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA:
La cantidad de movimiento angular de un cuerpo alrededor de su centro masa puede determinarse a partir de la velocidad angular del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.
La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:
Donde y denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero donde es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene:
MOVIMIENTO ANGULAR:
En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de movimiento angular Ho del cuerpo alrededor del punto O.
Si bien Ho podría obtenerse primero calculando Hg
Y después utilizando la ecuación
En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia O x y z Centrado en el punto fijo O. Se escribe con la ecuación:
Donde r y v denotan, respectivamente el vector de posición y la velocidad de la partícula P , con respecto al sistema de referencia fijo O x y z , Al sustituir V=w X r, se encontró que las componentes de la cantidad de movimiento angular Ho (figura 18.5 b) esta dad por las relaciones
donde los momentos de inercia Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz se calculan con respecto al sistema de referencia Oxyz centrado en el punto fijo O.
Momento y producto de inercia
La cantidad de movimiento angular HG de un cuerpo alrededor de su centro masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.
Donde r2 y vi denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula Pi de masa Δmi, relativa al sistema de referencia centroidal Gxyz. Pero vi= ω x ri, donde ω es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituirla, se tiene:
MOVIMIENTO ANGULAR PARA UN CUERPO RÍGIDO:
Es la sumatoria de la cantidad de movimiento angular de cada elemento de masa del cuerpo rígido.
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO:
En conjunto la ecuación de fuerzas y momentos permiten definir completamente el movimiento de una partícula, sistema de partículas o cuerpo rígido en 3D.Con base a la mecánica newtoniana:
Para un mejor manejo de las variables, la rotación y traslación de un cuerpo rígido se encapsulan en una forma matricial. Para el caso de 3D en una matriz de cuatro columnas por cuatro reglones.
Se usara la notación estandarizada: (i,j,k) para representación de vectores unitarios en dirección x, y, z respectivamente.
En 3D cualquier rotación es alrededor de un eje fijo. Por tanto para una rotación en 3D se debe especificar el ángulo de rotación Ф y también un vector unitario Û en dirección el eje de rotación. Para asignar una matriz de rotación con una dimensión de 3×3 se escribe R(Ф,Û)
El efecto de la transformación en un punto con coordenadas (x,y,z):
La anterior muestra el componente z del punto esta siempre fijo, el eje z esta fijo y por tanto es una rotación en el plano xy
De forma similar podemos expresar rotaciones en los ejes yz y zx
El signo en los términos sin (Ф) en la rotación R (Ф,j) están al revés, esto es a causa la rotación Ф radianes es medida para este caso en dirección de las manecillas del reloj.
Como se menciono anteriormente, el resultado de dos rotaciones, una después de la otra se obtiene usando la multiplicación matricial, Por tanto las rotaciones en 3D no conmutan es decir el orden como se realicen las transformaciones de rotación es importante. Para ilustrar la anterior se considera las siguientes rotaciones:
Observemos las dos maneras posibles de combinar las rotaciones en la anterior:
El siguiente orden de la multiplicación da como resultado
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